Να ρέει το τσίπουρο...

Η άσκηση "πλάστηκε" πάνω στο γλέντι για την απόσταξη τσίπουρου σε καζάνι της Αριδαίας στην Ίδα  και είναι αφιερωμένη στον συνάδελφο Ευθύμιο Μπελέκο που ήταν η "καρδιά" της βραδιάς...
Eυχαριστούμε τον διοργανωτή της όμορφης βραδιάς συνάδελφο μαθηματικό Θωμά Λαζαρίδη.
Ο συνδετικός κρίκος για μένα ήταν ο αδελφικός μου φίλος και συνάδελφος Γιάννης Λαμπρόπουλος.

 

Στο δοχείο ψύξεως του τσίπουρου υπάρχει οπή εμβαδού A=1cm^2 και σε ύψος Η=1,25m από το έδαφος ενώ υποθέτουμε ότι το τσίπουρο  συμπεριφέρεται σαν ιδανικό ρευστό που έχει πυκνότητα ρ=0,98kg/m^3 θεωρούμε ότι εξέρχεται με σταθερή κατακόρυφη ταχύτητα 1m/s την χρονική στιγμή t=0. To δοχείο συλλογής του τσίπουρου είναι κύβος ακμής 50cm με το κέντρο του δοχείου συλλογής να βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με οπή.

Nα βρεθούν:

α)Η στιγμή που το τσίπουρο θα αρχίσει να χύνεται από το δοχείο συλλογής του.(σιγά μην περιμένουμε μέχρι τότε..)

β)Το εμβαδό της επαφής του τσίπουρου που πέφτει προς το εμβαδό του τσίπουρου που ηρεμεί την στιγμή που έχει γεμίσει το μισό ακριβώς δοχείο συλλογής του τσίπουρου.

γ)Τη γραφική παράσταση της πίεσης στον πάτο του δοχείου συλλογής του τσίπουρου από την στιγμή t=0 μέχρι και την στιγμή που γεμίζει πλήρως το δοχείο.

Δίνεται Patm=10^5Pa.

5o Θέμα PartII

Για όσους έχουν όρεξη....

To Part II έγινε με την βοήθεια του Βάιου Βαιτσόπουλου και πάνω στην διάρκεια της πρακτικής του άσκησης στο φροντιστήριο...

Βοήθεια στις ασκήσεις δώσανε  στο συγκεκτριμένο τεύχος  οι συνάδελφοι  Βασίλης Δουκατζής στα γραφικά αλλά και ο Κώστας Ψυλλάκος στα επιστημονικά... Τους ευχαριστώ και τους δύο.

ΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΤΕΥΧΟΣ

To καλό το παλικάρι ξέρει και άλλο μονοπάτι...

Εργάτες θέλουν να μεταφέρουν λάσπη 100kg σε σκεπή κτιρίου ύψους Η=4,6m .Επειδή "τεμπελιάζουν" σκέφτονται την εξής πατέντα.Δένουν μία σανίδα μάζας Μ=2kg και τα άκρα της τα συνδέουν με δύο κατακόρυφα ιδανικά ελατήρια σταθεράς Κ=1000Ν/m και φυσικού μήκους Lo=1m το καθένα με τα κάτω άκρα των ελατηρίων στερεωμένα στο έδαφος.Δύο εργάτες την χρονική στιγμή t=0 συμπιέζουν αργά τα κατακόρυφα  τα ελατήρια με την σανίδα ενώ ένας τρίτος αφήνει  κάποια στιγμή πάνω στην σανίδα ποσότητα λάσπης.Οι εργάτες απελευθερώνουν την σανίδα και κάποια στιγμή η λάσπη εκτοξεύεται  κατακόρυφα προς τα πάνω.Ενας τέταρτος  εργάτης που βρίσκεται στο κτίριο "πιάνει" την ποσότητα της λάσπης που η μέγιστη ποσότητά της μπορεί να είναι 2kg.
Ένα gif ανάλογο της άσκησης βρίσκεται ΕΔΩ.
Να βρεθούν:
α)H ελάχιστη συσπείρωση των ελατηρίων  για να έχει επιτυχία το εγχείρημα των εργατών.
β)Η χημική ενέργεια που ξοδεύει ο εργάτης για να βάλει την λάσπη πάνω στην σανίδα.
γ)Η ελάχιστη χημική ενέργεια που πρέπει να ξοδέψουν οι δύο εργάτες  την πρώτη φορά καθώς και  την ελάχιστη ενέργεια κάθε φορά που το φαινόμενο θα επαναλαμβάνεται  για να συνεχίσει το φαινόμενο περιοδικά.

Να υποτεθεί ότι η λάσπη δεν κολλάει στην σανίδα που είναι βρεγμένη...

Σανίδα αλλά όχι βρεγμένη...

Σφαίρα μάζας m και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο έχοντας ταχύτητα του κέντρου μάζας ίσο με uo.Πάνω στο οριζόντιο επίπεδο ισορροπεί σανίδα πάχους 2R και αρκετά μεγάλου μήκους.Πάνω στην σανίδα ισορροπεί δεύτερο σώμα μάζας m1 και μεταξύ της σανίδας και του σώματος μάζας m1 τριβή με συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.Kάποια στιγμή η σφαίρα συγκρούεται ακαριαία κεντρικά και ελαστικά με την σανίδα με αποτέλεσμα να μηδενιστεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας.Να βρεθούν:

α)Η σχέση ανάμεσα στις μάζες του συστήματος.
β)Η τελική ταχύτητα του συστήματος σανίδας σώματος m1
γ)Οι περιστροφές που θα εκτελέσει η σφαίρα μέχρι τα δύο σώματα αποκτήσουν κοινή ταχύτητα.
δ)Το διάστημα που θα κινηθεί το σώμα μάζας m1 πάνω στην σανίδα.
ε)Συνολική θερμότητα που θα αναπτυχθεί κατά την διάρκεια του παραπάνω φαινομένου.

Παρά τρίχα δύο φορές...

Δύο σημειακά σώματα μάζας m ισορροπούν κατακόρυφα και συνδεέονται  μέσω ιδανικού ελατηρίου φυσικού μήκους Lo.Το ένα σώμα ακουμπά σε οριζόντιο δάπεδο.Eκτοξεύουμε την χρονική στιγμή t=0 ένα τρίτο σημειακό σώμα μάζας m από το κάτω σώμα με κατακόρυφη ταχύτητα.Αν μετά την χρονική στιγμή t=0 ακολουθήσουν δύο κρούσεις η πρώτη ελαστική και η δεύτερη πλαστική και το σώμα που ακουμπά στο έδαφος μόλις που δεν χάσει την επαφή του δύο χρονικές στιγμές με το έδαφος  ενώ το σώμα που ταλαντώνεται δεν  έχει αλλάξει φορά κίνησης να βρεθούν:

a)Το πλάτος ταλάντωσης του πάνω σώματος
β)Η σταθερά Κ του ελατηρίου.
γ)Το μέτρο της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης του σώματος m.

Αλλαγή φύλου σε στερεό...

Λεπτότατο δαχτυλίδι μάζας Μ και ακτίνας R ισορροπεί κατακόρυφα από ένα σημείο της περιφέρειά του ενώ μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που υπάρχει στο σημείο αυτό.Η ελάχιστη ενέργεια που θα πρέπει να δαπανήσουμε για να "ξεχιλώσουμε" το λεπτότατο δαχτυλίδι και να το μετατρέψουμε σε ράβδο μήκους 2R είναι Εmin.Από το κέντρο του δαχτυλιδιού εκτοξεύoυμε κατακόρυφα προς τα κάτω σημειακό σώμα μάζας m με αρχική ταχύτητα u.Mετά την  πλαστική κρούση του σημειακού σώματος με το δαχτυλίδι το δαχτυλίδι αρχίζει να παραμορφώνεται και τελικά το σύστημα  μόλις και μετατρέπεται σε ράβδο στην άκρη της οποίας υπάρχει το σημειακό σώμα μάζας m.Να βρεθούν:
a)H ενέργεια που μεταφέρθηκε στο περιβάλλον στην διάρκεια της "αλλαγής φύλου" του στερεού.
β)Ποια οριζόντια ταχύτητα πρέπει να έχει δεύτερο σημειακό σώμα μάζας m που θα συγκρουστεί πλαστικά στο κάτω άκρο του "trans στερεού" αν θέλουμε το σύστημα να διαγράψει οριακά μέγιστη γωνία 90ο.

Τρέχει τρέχει τρέχει το μαζούτ...

Μία κυβική πισίνα με ακμή a=10m περιέχει  νερό πυκνότητας ρ=1000Κg/m^3 μέχρι ύψους Η=a/2.Στον πάτο της πισίνας έχουμε στερεώσει ένα δεύτερο αβαρή  άκαμπτο  κύβο ακμής a/5 που είναι "τιγκαρισμένος" με μαζούτ πυκνότητας ρ1=980Κg/m^3.Aνοίγουμε ταυτόχρονα δύο πολύ  μικρές οπές ίδιου εμβαδού μία στο κάτω άκρο της πλευρικής επιφάνειας του κύβου και μία στη πάνω πλευρική επιφάνεια του κύβου.Να βρεθούν:
a)Θα βγεί το μαζούτ στην επιφάνεια της πισίνας;
β)Αν βγει μαζούτ  από ποια οπή θα αρχίσει να ρεύσει  το μαζούτ;
γ)Ποιο το μέτρο της ταχύτητας μιας στοιχειώδους  ποσότητας μαζούτ που θα φτάσει πρώτη στην επιφάνεια της πισίνας.
δ)Πόση ποσότητα νερού θα εισρεύσει μέσα στον μικρό κύβο και πόσο θα είναι το πάχος του μαζούτ στην επιφάνεια της πισίνας.
Δίνεται Patm=10^5Pa.